L'écoulement dans les milieux aquifères

L'expérience de Darcy

L'écoulement de l'eau à travers les formations perméables a été étudié par Darcy en 1856. L'expérience qui est à l'origine de la loi de Darcy est la suivante: Considérons un cylindre de section $A$, rempli de sable, avec une circulation d'eau et deux manomètres, figure 19. L'eau est introduite dans le cylindre, sature les pores avant de s'écouler à l'autre extrémité. fig19.eps En prenant un niveau de référence $z = o$, on attribue $z_1$ et $z_2$ aux niveaux des ouvertures des manomètres et $H_1$ et $H_2$ [m] aux hauteurs du fluide. Le débit total traversant le cylindre est noté $Q$ [m$^3$s$^{-1}$]. On définira alors $q$ ou $v$, comme le débit spécifique à travers le cylindre:

$$q = v = \frac{Q}{A}$$ (3.1)

Le débit spécifique a la dimension d'une vitesse [ms$^{-1}$]. On observe que $q$ est directement proportionnel à $H_1-H_2$ si la distance $L$ entre les manomètres 1 et 2 est constante et inversement proportionnel à $L$, si $H_1-H_2$ est constant. Si on définit $\Delta H$ comme $H_2-H_1$, alors la loi de Darcy s'écrit:

$$\frac{Q}{A} = - K \frac{ \Delta H}{L}$$ (3.2)

ou

$$q = - K \frac{dH}{dl} = - K \grad H$$ (3.3)

On appelle $H$ la charge hydraulique et $dH/dl$ est le gradient hydraulique. $K$ est une constante de proportionnalité qui est fonction, entre autres, de la nature du sable dans le cylindre. On appelle $K$ la conductivité hydraulique (ou le coefficient de perméabilité). Elle a la dimension d'une vitesse. On peut également exprimer Darcy, sur la base du débit:

$$Q = - K A \grad H$$ (3.4)

Une notation usuelle est de noté $i$ le gradient de charge. On a alors

$$q = -K i$$ (3.5)

La loi de Darcy est valable quelque soit la direction du cylindre de sable. Si $dH/dl$ et $K$ sont maintenus constants, $v$ est indépendant de l'angle. On appelle quelquefois le débit spécifique ou unitaire, la vitesse de Darcy ou la vitesse de filtration, $v$. Mais cette vitesse est parfaitement fictive et il est préférable de ne parler que du débit spécifique.

Le potentiel hydraulique et le gradient de charge

Tout déplacement de fluide implique l'existence d'un gradient de potentiel (ex.: électricité, chaleur). En ce qui concerne le déplacement de l'eau dans un milieu poreux, Hubbert a démontré en 1940 que le potentiel de l'eau correspond à l'énergie mécanique par unité de masse. On établit en suivant la démonstration de Freeze et Cherry (fig. 20) que le potentiel hydraulique $\Phi$ est égal à trois types de travail:

$$\Phi = mgz + m \frac{v^2}{2} + m \int_{p_0}^p\frac{dp}{\rho}$$ (3.6)

avec

• $m$ = 1
• $z$ = altitude
• $v$ = vitesse
• $p$ = pression
• $r$ = masse volumique (unité, voir fig. 20)
• $H$ = charge hydraulique
• $h$ = pression au-dessus d'un point

Et on observe que le potentiel hydraulique en n'importe quel point est égal à la charge hydraulique multipliée par l'accélration de la pesanteur $g$, fig. 20, (2.4)

$$\Phi = g H$$ (3.7)

et

$$H = z + h$$ (3.8)

L'eau se déplace donc selon les gradients de potentiel (du point à haute énergie vers le point à basse énergie) ou de charge hydraulique. Le gradient de charge hydraulique exprime la perte de charge le long d'une ligne de courant, soit la perte de pression ou d'altitude le long d'une ligne d'écoulement.